Андрій народився у місті Сокиряни.
У 2007 році закінчив місцеву Сокирянську гімназію та вступив на навчання до Національного авіаційного університету у Києві.
Будучи студентом, восени 2008 року започаткував “Мегаграндіозний марш у вишиванках” – столичну подію, яка стала культовим та міжнародним рухом.
Андрій Бабінський був одним із популяризаторів гри “Криївка” – патріотичної альтернативи “Мафії”, був співорганізатором низки культурно-мистецьких подій Києва та інших міст: концертів, фестивалів, лекторіїв, кінопоказів, етновечірок та квартирників, де гуртувалась патріотична молодь.
У 2013-2014 рр. з перших днів протестів був активним учасником Революції Гідності.
Після закінчення університету Андрій Бабінський розвивав українську науку та протягом 2013-2017 рр. працював молодшим науковим співробітником Інституту біохімії імені О.В. Палладіна НАН України.
Після роботи в Інституті, у 2019-2020 роках працював за кордоном у Данії у сфері агробізнесу. Згодом повернувся в Україну та займався приватним підприємництвом.
З початку повномасштабного російського вторгнення Андрій Бабінський став добровольцем та вступив до лав Сил територіальної оборони Збройних сил України.
8 серпня 2023 року старший солдат Андрій Бабінський героїчно загинув, мужньо виконавши військовий обов’язок, захищаючи територіальну цілісність, свободу та незалежність України ціною власного життя, поблизу населеного пункту Червона Криниця Оріхівського району Запорізької області від російського артилерійського обстрілу касетними боєприпасами.
Останній спочинок Герой знайшов на Центральному кладовищі міста Сокиряни.
Указом Президента України №599/2023 Андрія Бабінського посмертно відзначено орденом «За мужність» ІІІ ступеня.
